Ce billet est issu de l’annexe 3 de Programmes pour RStudio (Bahoken, 2016a et b). Il fait partie d’une série de procédures permettant de sélectionner les flux selon des critères liés à l’espacement des lieux. L’objectif de la construction de ces matrices d’espacement des lieux (éloignement, proximité, voisinage …) est qu’elles servent ensuite à filtrer la matrice de flux (Fij) observés, de manière à ne représenter que les flux répondant au critère (d’éloignement, de distance, …) retenu.

Le présent document porte sur la construction d’une matrice de voisinage ordinale, notée (CKij), avec k{1,2,3,…(n-1)}.

–> Le critère utilisé ici est une métrique discrète traduisant une proximité (ou un éloignement) de type ordinal. Sur le plan théorique, cela consiste à faire l’hypothèse que l’existence d’un lien (voire d’un flux) entre deux lieux marque la présence d’une frontière (cf. idée de “franchissement de limite de zone”), ce qui permet de mobiliser la mesure de distance géodésique définie sur un graphe de voisinage. Ainsi, dans (CKij), les couples de lieux (i,j) sont considérés distants de (k) ou (k) est interprété comme le nombre de limites de zones (i.e. de frontières de longueur non nulle) à franchir pour aller de (i) à (j).

–> Dans le cadre d’analyse des flux, la matrice (CKij) va servir soit à visualiser le graphe de voisinage de notre zone d’étude, à différents ordres de proximité, soit à réduire une matrice de flux dans l’objectif de ne représenter que ceux qui s’expriment dans un voisinage de (k), en respectant / conservant ou non un principe de continuité spatiale.

1. Argumentaire

La matrice (CKij) est une extension de la portée du voisinage spatial de (Cij=1) présentée  ici. Introduite par L. Lebart (1969) pour analyser l’auto corrélation spatiale, elle a ensuite été reprise par W. Tobler (1987) qui l’a notamment appliquée à la cartographie des interactions spatiales, suggérant une valeur de (k=4).

–> Le présent billet porte sur la construction de (CKij)

Le cas d’illustration est le découpage communal de l’Isère. La matrice de flux associée est celle des flux domicile-travail de l’Isère que l’on réduira aux seuls flux s’exprimant entre des couples de lieux situés, pour les exemples, à : (k=1), (k=2) et (k=4) éloignement (ou limites de zones de zones à franchir)

Données :
Isere_com : le fond de carte des communes de l’Isère.
matrice_isere : la matrice de flux de l’Isère (format liste).

On mobilise pour cela un fond de carte surfacique. Le cas d’illustration est le découpage communal de l’Isère. La matrice de flux associée est celle des flux domicile-travail de l’Isère que l’on réduira aux seuls flux s’exprimant entre des couples de lieux situés dans un voisinage de k limites de zones: (Fij)<-(CKij)

2. Description de la méthode

2.1. Présentation de (CKij) 

(CKij) est une matrice où les cases sont renseignées par  des valeurs discrètes (1,2,3,…) et non nulles. Ces valeurs correspondent au dénombrement de limites de zones qu’il convient de franchir pour aller de (i) à (j). Il s’agit plus précisément d’une matrice de contigüité d’ordre k={1,2….n(-1)}. Elle prend des valeurs non nulles sauf, bien sûr, sur la diagonale principale, d’où l’appellation formelle de voisinage ordinal territorial. Elle diffère en ce sens nettement de la matrice de voisinage spatial qui considère l’espacement à (k) plus proches voisins, pour deux raisons majeurs : 1) par la métrique qui est continue, puisqu’il s’agit généralement d’une mesure de distance (en km) à un ou des voisins et 2) par le mode d’implantation spatiale considéré puisque le voisin en question correspond à un point (x,y) et non à une polyligne, comme dans (CKij). La différence entre ces deux approches est présentée dans (Bahoken, 2016b : pp. 15-19), qui peut être téléchargée là).

On notera que (Cij=1) présentée ici (et (CKij), avec k=1 sont identiques (Bahoken, 2016a : 303-304), comme illustré par la figure suivante.

(CKij) compte le même nombre de lignes et de colonnes, elle est nécessairement symétrique – tout comme (Cij=1) – et sa diagonale principale est vide[2]. La différence entre ces deux matrices tient au rang d’éloignement considéré {(1, 2, …, (n-1)}.

[1] Pour s’en rendre compte, il convient de comparer terme à terme les matrices de la Figure 7‑13 où les cases présentant la valeur 1 sont identiques.

[2] Dans une matrice de contiguïté classique, la diagonale principale est renseignée par le degré des lieux (une mesure de l’analyse des réseaux dans le cadre de la théorie des graphe correspondant au nombre de liens entrants ou sortants).

2.1. Construction et géo visualisation de (CKij) 

La cartographie de flux prenant en compte cette métrique de voisinage nécessite de choisir (k). On construit d’abord la matrice de voisinage d’ordre 1, puis 2 puis 4… Le programme proposé est fondé sur une boucle qui permet de rechercher, pour une entité (i) quelconque, son voisin d’ordre 1, puis le voisin d’ordre 1 de son voisin d’ordre 1 qui sera alors le voisin d’ordre 2 de (i) et, pour l’ordre 4, le voisin d’ordre 2 du voisin d’ordre 2, et ainsi de suite.

Ces différentes sous-matrices (CKij) peuvent ensuite être visualisées sous la forme de graphes de voisinages, comme ceci :

2.2. Principe de continuité spatiale
Pour cartographier les flux correspondants à une réduction* de (Fij) en fonction de (CKij), il est intéressant de respecter/conserver le principe de continuité spatiale, c’est-à-dire de cartographier les flux qui s’expriment jusqu’à l’ordre (k).

Par exemple, pour représenter les flux dans un voisinage d’ordre 2, il faut considérer les valeurs de flux inférieures à (CKij) avec (k=2) : [(Fij) <– [ (CKij, k<2) ] et non les flux d’ordre égal à 2 (!) : [(Fij) <– [ (CKij, k=2)]. Pour cartographier l’ordre 2, il faut donc préalablement ajouter les matrices issues de l’ordre 1 et de l’ordre 2..

De même, pour cartographier matrice (CKij) avec (k=4) : [(Fij) <– [ (CKij, k<4) ], il faut l’ajouter à l’ordre 1 et à l’ordre 2 pour respecter/conserver ce même principe.

Il est également possible de ne visualiser que la sélection des flux qui franchissent, par exemple, 4 limites de zones (et non de 1 à 4) comme précédemment : [(Fij) <– [ (CKij, k=4)].

*La procédure de réduction de (Fij) en fonction de (CKij) est identique à celle décrite dans [Carto.Flux. 3-2]. La cartographie de cette matrice réduite est présentée ici.

6- Télécharger la procédure

Télécharger le programme :
format .rmd : Carto_F_3_2
format .pdf : Carto_F_3-2

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Bibliographie :

Lebart, L. (1969), Analyse Statistique de la Contigüité, Publications de l’ISUP, n°XVIII, pp. 81-112.

Tobler, W. R. (1987), Experiments in migration mapping by computer, American Cartographer, n°14, pp. 155-163.

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Références :

Bahoken, F.,  2016a, Chapitre 7.  Propositions de solutions liées à la prise en compte de l’espace : la distance, le voisinage spatial et l’appartenance territoriale, in : Contribution à la cartographie d’une matrice de flux, Thèse de doctorat en Géographie – sciences des territoires, Université Paris Diderot (Paris 7), Sorbonne Paris Cités, UMR 8504 Géographie-Cités, (pp. 282-324).

Bahoken, F.,  2016b, Programmes pour Rstudio(c) annexés, in : Contribution à la cartographie d’une matrice de flux, Thèse de doctorat en Géographie – sciences des territoires, Université Paris Diderot (Paris 7), Sorbonne Paris Cités, UMR 8504 Géographie-Cités, 41 p.

dont : Annexe des chapitres A-2. La construction d’une matrice de voisinage spatial (k plus proches voisins), située dans l’Annexe des chapitres (pp. 15-19), qui peut être téléchargée ici.

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